Najsłynniejsza z liczb? π!

Opublikowane przez Heniek w dniu

Liczba π (pi) w naszych mózgach pojawia się – ze szkolnego punktu widzenia – gdzieś około połowy podstawówki. Z definicji – banalna, z właściwości – fenomenalna. Co w niej niby takiego ciekawego? Czy to aby nie jest tekst, chwalący skrzywionych zawodowo matematyków? Takich, którzy pod prysznicem podśpiewują wzory skróconego mnożenia? Nie! Będzie o postępie, budownictwie i zawziętej rywalizacji.

π jest w każdym kółku

To jest zarówno oczywista oczywistość, jak i matematyczna regułka. Każde koło ma taki sam kształt (niespodzianka, prawda?), więc dla każdego działają te same prawidła matematyczne. Najbardziej podstawowe takie prawo to zarazem definicja liczby π:

pi on circle

π = L / d

Czyli: obwód koła dzielony przez średnicę. Ale, jak wiadomo, liczba ta przydaje się też w geometrii przestrzennej, trygonometrii, statystyce. I w mnóstwie mniej oczywistych miejsc. Zacznijmy od podstawowego pytania:

Ile wynosi π?

Na to pytanie uczeń powinien zawołać: „trzy czternaście”. Nieco bardziej rozgarnięty doda, że „w przybliżeniu”. A kto poszpera głębiej, dowie się, że idealnie dokładnie nikt tego nie wie i co więcej, nikt się nigdy nie dowie. Jak to możliwe?

π jest niewymierne i co więcej, przestępne. Liczb niewymiernych nie da się zapisać jako ułamek dwóch liczb naturalnych. Na przykład √2≈1,414213… – rozwinięcie jest nieskończone i nieprzewidywalne. Takie liczby są jeszcze w miarę intuicyjne, bo można napisać takie równanie na ich obliczenie: x2 = 2. Liczb przestępnych nie da się zapisać za pomocą cyfr, ułamków ani żadnych algebraicznych równań. Można za to zapisać je w postaci nieskończonego ułamka albo sumy. Co więcej, matematycy wymyślili mnóstwo takich nieskończonych wzorów! Nie różnią się one miedzy sobą wynikiem, tylko szybkością zbliżania się do wyniku. Na przykład taki prosty sposób:

Wzór na π – nieskończona suma

Dociekliwy Heniek policzył tę sumę dla 100 składników. Błąd między wynikiem a „prawdziwym” π wyniósł 0,0099. Inny nieskończony wzór wygląda tak:

wzór na liczbę pi - ułamek łańcuchowy
Wzór na π jako ułamek łańcuchowy

Dla pięciu „poziomów” takiego ułamka błąd wyniósł zaledwie 0,0043. W takich kalkulacjach z góry wiadomo, że kiedyś trzeba będzie się poddać (albo umrzeć ze starości) i zadowolić się nieidealnym wynikiem. Lepszy wzór to taki, który wymaga krótszego liczenia dla rezultatu jak najbliższego π. Więc choć pierwszy z powyżej podanych jest znacznie prostszy do zapisania na kartce, to właśnie ten drugi daje szybciej lepsze przybliżenie.

A tak odrobinę praktyczniej – na co komu jest π?

π potrzebowali starożytni inżynierowie

Dawniej ta liczba przydawała się przede wszystkim budowlańcom i rzemieślnikom, choć zazwyczaj nie zawracali sobie tym głowy. W Biblii (1 Księga Królewska) jest opis świątyni króla Salomona i jej sprzętów z brązu, w tym okrągłego zbiornika wody. Miał on 10 łokci średnicy i 30 łokci obwodu, z czego wynikałoby, że π = 3. Wniosek? Zbiornik był nierówny, albo zmierzono niedokładnie, albo autor tekstu machnął ręką na cyfry po przecinku. Nie wiadomo, czy brązownik wynajęty do tej roboty (mistrz Hiram) mógł sobie pozwolić na taką nonszalancję. Jak by to wyglądało, gdyby monumentalna świątynia ku czci Jahwe miała pokrzywione wyposażenie? Wstyd! To znaczy, jak na współczesne standardy. W X w. p.n.e. taka konstrukcja i tak oszałamiała rozmachem.

Ilustracja zbiornika w świątyni Salomona wg biblijnego opisu.

π przydaje się w science fiction

3200 lat później, w serialu Star Trek, wystąpił motyw morderczej istoty, która potrafiła przenosić się między ciałami. Gdy wlazła w komputer pokładowy USS Enterprise, pierwszy oficer Spock wydał priorytetowy rozkaz obliczenia π do ostatniej cyfry. W ten sposób zablokował kosmicie pole manewru, bo doskonale wiedział, że kalkulacje potrwają w nieskończoność.

Spock rozkazuje obliczyć ostatnią cyfrę pi
Niewykonalne zadanie

Sprytne użycie π pomogło więc załodze statku kosmicznego w 2267 r.

π łamało głowy wierszokletom

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie, kołyszesz…
Kuć!
My nie czekajmy cudu,
robota to potęga ludu!

prof. Kazimierz Cwojdziński, 1930 r.

W tym wierszyku kolejne słowa mają tyle liter, co kolejne cyfry rozwinięcia π. To tzw. pi-emat, czyli wierszyk ułatwiający zapamiętanie tej potężnej liczby. Istnieją takie w wielu językach. Cyfra 0 może być reprezentowana przez 10-literowe słowa. Ale… po co ją zapamiętywać? Dla sportu!

π to sport dla komputerów i mózgów

Wiemy już, że π ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, więc przy obliczaniu albo spisywaniu cyfr kiedyś trzeba powiedzieć sobie: dość! Pytanie brzmi: kiedy? Otóż właśnie w zmaganiach z π ludzkość bije absurdalne rekordy w wyprawach za przecinek. Nie bez powodu matematycy łamali sobie głowy nad jak najlepszymi wzorami na π. Ta liczba jest tak słynna, że pobicie kolejnego rekordu ilości obliczonych cyfr odbija się szerokim echem, nie tylko w środowisku matematyków; obecnie wynosi on 50 000 000 000 000. Podobnie jest z ilością cyfr zapamiętanych przez człowieka. Rekordzista Guinnessa wyrecytował ich z pamięci 70 000. I choć brzmi to jak totalnie bezużyteczne spędzanie czasu, to przydaje się:

  • Sportowo. Czyli dla czystej satysfakcji osiągnięcia czegoś tak imponującego pod względem obliczeniowym lub pamięciowym.
  • Wyczynowo. Błyskawiczne obliczenie π do n-tego miejsca po przecinku to demonstracja możliwości komputera, który to robi.
  • Algorytmicznie. Każdy chciałby, żeby jego komputer śmigał szybko! Dlatego poszukiwanie jak najszybszych metod obliczania czegokolwiek przydatnego ma uzasadnienie.
  • Edukacyjnie. Każdy pretekst jest dobry, żeby zaciekawić ludzi czymś przydatnym. Matematyka rządzi mnóstwem aspektów tego świata, jej nauka to podstawa dla człowieka inteligentnego.

πęknie podsumowując…

π ma takie mnóstwo zastosowań i właściwości, że niejeden uczony nazywał ją po prostu piękną. To oczywiście kwestia gustu, ale ciekawy jest sam fakt, że w tworach matematycznych również jest zawarta harmonia i „uroda”.

π przydaje się od tysięcy lat, i będzie przydawać się w przyszłości – nawet bardzo odległej.

π jest w banalnej codzienności, w okręgach, rysowanych w szkole. Ale znajdziemy ją też w zaawansowanej fizyce cząstek elementarnych i równaniach grawitacji w kosmicznej skali.

π jest nieskończona, choć widać ją jak na dłoni w byle kółku.

Niesamowita wszechstronność π czyni ją po prostu fascynującą.

Kategorie: Matematyka

0 Komentarzy

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *