Sinus-cosinus, daj Boże trzy minus…

Opublikowane przez Heniek w dniu

Tytułowe powiedzonko narodziło się pewnie gdzieś w akademiku którejś z politechnik. Sytuacja: jest trzecia w nocy, a o 8:30 będzie zaliczenie z matmy. Poziom posiadanej wiedzy: niewiele wyższy niż procentaż alkoholu we krwi studenta. Dylemat zaś brzmi:

Lepiej wypić następne piwo, iść spać czy usiłować się czegoś nauczyć?

Studenckie czasy Zenka

A skoro taki tytuł, to dziś liznę temat trygonometrii.

Co to jest trygonometria?

Zrozumienie, co znaczy ważne słowo (albo skrót), może dużo pomóc w zrozumieniu całego zagadnienia. Taka to już jest magia słów, ale to inna historia.

“Trygonometria” to dosłownie “trójkąto-mierzenie”. Czyli – jak się tak zastanowić – bardzo prosta geometria. Przecież trójkąt jest spośród wielokątów najłatwiejszy do ogarnięcia – to tylko trzy kreski! Ale uwaga, nie wolno lekceważyć potęgi tej prostoty. Metoda elementów skończonych coś o tym wie.

Powtórzmy szkolną regułkę:

Trygonometria to dział matematyki, zajmujący się zależnościami między miarami kątów i długościami boków w trójkątach.

Nic odkrywczego. Choć tak w zasadzie, to to nie jest dokładnie prawda – ale spokojnie, nie jest to też wierutne kłamstwo. Ale to inna historia. Tu chodzi tylko o to, że funkcje trygonometryczne mają ogrom zastosowań poza mierzeniem trójkątów. W każdym razie, najprościej, trygonometria powiada, iż:

W trójkątach są trzy boki i trzy kąty. Zazwyczaj wystarczy znać trzy spośród tych sześciu, aby móc obliczyć pozostałe trzy.

A wiecie, na co jest trygonometria w praktyce? Żeby sobie ułatwić życie. Po prostu. No to jedziemy z przykładami.

Na podłodze i na dachu

Na etapie projektowania często z góry trzeba założyć gabaryty budynku, ale niekoniecznie stromiznę dachu. A dach powinien być pochyły, żeby deszczówka mogła z niego swobodnie spływać. Więc na ile metrów kwadratowych trzeba kupić dachówkę? To właśnie banalne zadanie z trygonometrii, a odpowiedź brzmi:

Supernowoczesny model dachu

P = S ⋅ D/cos(α)

To pole powierzchni obu połaci dachu, które oczywiście nie uwzględnia okapów, kalenicy, okien dachowych, komina. Więc nie ma tak znowu lekko, niestety.

Niewiele trudniejsze byłoby policzenie powierzchni podłogi, w której znalazł się jakiś skos. Deweloperzy wszak wykazują się wielkim talentem we wciskaniu bloków gdzie popadnie. Dążą nieraz przy tym do wrażenia, że to właśnie ten jakiś blok jest specjalniejszy od sąsiednich. Efekt? Nie wszystkie kąty budynku są proste. Skutek? Obliczenie ilości potrzebnego betonu, pustaków, zaprawy murarskiej, kafelków, kostki brukowej, wykładziny (itd., itp.) wymaga trochę wysiłku:

– Panie Heńku, po co panu tak dokładnie tę zaprawę liczyć? Jak nie na tym, to na innym bloku się zużyje, i tak wiadomo że trzeba zamówić na zapas.

– Zenek, idioto, inny blok jest osobno rozliczany! A kontrahent jest skąpy jak czort i nie zapłaci za niezużyte materiały. Wiem, że na zapas musi być! I mam majstra mądrzejszego od ciebie, który mi powie, ile ma być zapasu, nie więcej!

Debata operatora koparki z architektem

Na szczęście w większości wysiłek ten współcześnie odwalają komputery. Ale architekt nie może sobie pozwolić, żeby nie rozumieć, jak obliczane są materiały na jego własny projekt. Wtedy wyszedłby na głupka, i słusznie.

Pionierskie badania kosmosu

Brzmi jak planowanie lotów na Marsa? Może i tak, ale chodzi o coś odrobinę wcześniejszego: starożytnych astronomów. To oni tak naprawdę byli pionierami badań kosmosu oraz trygonometrii. Zobaczcie: jeżeli wyobrazimy sobie trójkąt z wierzchołkami w trzech planetach i znamy dokładnie jego dwa kąty i jeden bok, to łatwo jest policzyć… odległości do planet. Skąd? Patrz wyżej. A idąc dalej, można liczyć odległości do gwiazd! Oczywiście pod warunkiem, że znamy wartości funkcji trygonometrycznych bardzo dokładnie.

Jak pomierzyć te dwa kąty i jedną odległość? Na to są różne sprytne sposoby, ale to już inna historyczno-matematyczna opowieść.

Wektory

O, wektory! Podwalina mechaniki, bohaterowie sennych koszmarów studentów politechnik, słudzy zasad dynamiki Newtona, narzędzie wrośnięte w wyobraźnię wielu starych inżynierów.

Do rzeczy: wektory opisują działanie sił w przestrzeni, z wartościami i kierunkami. Rysuje się je jako strzałki, podlegają dodawaniu do siebie i mnożeniu przez siebie. A tymi działaniami rządzi trygonometria! Czemu? Bo strzałki to takie kreski, a dwie kreski zetknięte końcami to już prawie trójkąt – wystarczy narysować trzecią, zamykającą linię. I tak, mimochodem, otrzymaliśmy właśnie sumę dwóch wektorów!

Fale

Wspomniałem, że trygonometria nie zawsze dotyczy trójkątów. Są jeszcze funkcje trygonometryczne, w tym chyba najbardziej znany, “falujący” sinus.

Tak się szczęśliwie złożyło, że to ta właśnie funkcja świetnie opisuje tzw. ruch oscylacyjny, czyli "tam i nazad". Klasyczny przykład to wahadło, drgająca sprężyna czy struna. Ale nawet jeśli na każdej fizyce w szkole ktoś spał jak suseł, to łatwo zauważyć, że ta powyższa linia wygląda jak fala. I słusznie, ponieważ właśnie do opisu fal przydają się funkcje trygonometryczne. A fale są wszędzie wokół, niektóre nawet widać.

Ale na co to komu?!

Liczenie dachówek i zaprawy - żeby nie przepłacać.

Odległości do planet i gwiazd - dla poznawania Wszechświata!

Wektory - w każdym zagadnieniu z mechaniki, od przykręcenia jednej śrubki do konstrukcji humanoidalnych robotów.

Fale - żeby móc ogarnąć wodę, dźwięk, światło, radio. To wszystko fale!

Trygonometria w szkolnych zadaniach może być nudna. Cóż z tego, skoro rządzi tyloma rzeczami! Jest po prostu narzędziem nauki. Niełatwym narzędziem, ale wartym poznania.


0 Komentarzy

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *